青蛙跳台阶问题的三种解法

题目：一只青蛙一次可以跳 1 级台阶，也可以跳 2 级。求该青蛙跳上一个 n 级的台阶总共有多少种跳法。

这道题还被 ITEye 放在了博文视点杯有奖答题活动里面。

我提供三种解法。

1、递归求解：

青蛙每跳一次前，有这样三种情况：

（1）只剩 1 级或 0 级台阶了，只能跳一步或者无法再跳了，那么这条路也走到了终点，走法的种类数可以加 1；
（2）可以走 2 级台阶；
（3）可以走 1 级台阶。

于是递归方法求解：

/** 
 * 递归方法 
 */
public static int calc(int n) {  
    return recursiveCalc(n, 0);  
}  
  
private static int recursiveCalc(int n, int total) {  
    if (1 == n || 0 == n)  
        return ++total;  
  
    total = recursiveCalc(n - 1, total);  
    return recursiveCalc(n - 2, total);  
}

2、概率论思路求解：

首先把问题抽象成简单的数学模型，设 2 步台阶跳了 x 次，1 步台阶跳了 y 次，那么：

2x + y = n

于是，当 x = i ，可知 x >= 0 ，且 x < n/2（向下取整），设某时刻的 x = i ，那么有 y = n – 2 * x ，于是，总共需要走 z = i + n – 2 * x 步。

这时，问题即转化为：

z 步骤中，有 x 个两步，y 个一步，相当于 z 个空当，由 x、y 去填充，那么不同填充方法的数目符合概率公式：

C(x,z) = z! / ((z-x)!x!)

即从排列 z 中取其中 x 个数的种类，x 内部无序：

/** 
 * 概率论 
 */
public static int calc2(int n) {  
    int total = 0;  
    for (int i = 0; i <= n / 2; i++)  
        total += factorial((i) + (n - 2 * i)) / factorial(i)  
                / factorial(n - 2 * i);  
    return total;  
}  
  
private static int factorial(int n) {  
    if (0 == n)  
        return 1;  
  
    int total = 1;  
    for (int i = 1; i <= n; i++)  
        total *= i;  
    return total;  
}

3、数学归纳法求解：

如果 n=1，总步数 f(n)=1；如果 n=2，总步数 f(n)=2。

另一方面，当 n>=3，当前还剩的步数 f(n)，如果接下去跳一步，那么还剩下的步数是 f(n-1)；如果接下去跳两步，那么还剩下的步数是 f(n-2)，故：f(n)=f(n-1)+f(n-2)。

现设 s3=f(n)，s2=f(n-2)，s1=f(n-1)，从时间、空间复杂度来说，这也是最简单的一种方法：

/** 
 * 数学归纳法 
 */
public static int calc3(int n) {  
    if (1 == n || 2 == n)  
        return n;  
  
    int s1 = 1, s2 = 2, s3 = 1;  
    for (int i = 3; i <= n; i++) {  
        s3 = s1 + s2;  
        s1 = s2;  
        s2 = s3;  
    }  
    return s3;  
}