笔记：Gamma 分布的转化

Gamma 分布

α 和β 均大于零，且令λ=1/β，假设 X 的密度满足：

就说 X 是服从参数为 (β,α) 的 Gamma 分布，记为Γ(β,α)。Gamma 分布的两个参数中，第一个β 决定了形状 (shape)，第二个参数α 决定了尺度 (scale)。

右上图中的 k 即是α，θ 即是β；期望 E=β/α，方差 D=β/(α*α)。曲线有一个峰，左右不对称。在α 比较大时，曲线接近于正态分布。

Erlang 分布

当β 为正整数 n 的时候，那么λ=1/n，Γ(n,α) 满足 Erlang 分布。Erlang 分布经常用来表示独立随机事件发生的时间间隔。比如一个车站从第一辆车到达，直到恰好有 n 辆车到达所需要的时间分布。

Erlang 分布有两个参数：k 表示阶数 (stage)，μ 表示均值。概率密度符合：

概率密度符合 k 阶 Erlang 分布。

指数分布

当β=1 时，Γ(1,α) 表示参数为α 的指数分布 exp(α)。指数分布也经常用来表示独立随机事件发生的间隔，电子产品的寿命分布一般服从指数分布。指数分布不具备记忆性，如果一个人活了六十年，他再活十年的概率和一个十岁的孩子再活十年的概率，通常来说后者要高得多，这种情况就是记忆性的体现，不可能服从指数分布。

它的概率密度函数：

卡方分布

当α =n/2 ，β=1/2 时，Γ(n/2,1/2) 即是χ2 分布（卡方分布）。n 个相互独立的随机变量，均服从正态分布，那么这 n 个随机变量的平方和构成的新随机变量，分布规律符合χ2(n) 分布。所以卡方分布曲线下总面积为 1，x 取负值没有意义。

它的概率密度函数：

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